Enigmes mathématiques

Tu charges le fusil et abats une pauvre panthère qui passait par la sans rien demander à personne.
Tu te sers de la dite panthère pour tracer un cercle de rayon : la panthère.
Tu obtiens donc une circonférence de 2 PI Panthère. Puisque tu as deux pipes en terre, tu en gardes une à moins que tu n'aimes en fumer 2 d'un coup.
Tu fais avec du sable deux tas: un haut et un bas. Le haut ne t'intéresse pas mais tu gardes le tas bas.
Tu recharges le fusil, tu vises une seconde panthère qui passait... et ? tu la loupes !!!.
Tu gardes cette précieuse loupe. Grâce au tabac, tu peux bourrer ta pipe (en terre), l'allumer avec la loupe et l'aide bienfaisante du soleil, à moins que tu n'aies pris trop de temps et qu'il fasse déjà nuit.

Soit 19ab l'age de Jules (par exemple s'il est né en 1990, on a "a = 9" et "b = 0"). On a alors :
1 + 9 + a + b = 1999 - 1900 - a * 10 - b = 99 - 10a - b
<=> 11a * 89 - 2b
a et b sont des chiffres (et non des nombres !), donc 89 - 2b peut valoir 89, 87, 85, 83, 81, 79, 77, 75, 73, 71.
Le seul multiple de 11 parmi ces chiffres est 77.
Donc a = 7, et b = 6. Donc Jules est né en 1976.

Jules a donc 23ans.

On sépare la solution en deux parties :
1ère partie : quelle est le nombre que l'on va être en train de répéter aux alentours du 2001 chiffres ?
Les nombres de 1 à 9 sont représentés par un seul chiffre. Pour écrire la suite jusqu'au nombre 9, il faut 1 + 2 + ... + 9 = 45 chiffres.
Les nombres de 10 à 99 sont représentés par 2 chiffres. Pour écrire la séquence correspondant à chaque nombre n, il faut 2*n chiffres. Pour écrire la suite du nombre 10 au nombre n , il faut N chiffres, avec :
N = 2 * somme (de 10 à n) = 2*[somme (de 1 à n) - somme (de 1 à 9)] = 2*[ n*(n+1)/2 -45] = n*(n+1) -90
Ainsi pour écrire la suite de 1 à n, il faut n*(n+1) - 90 + 45 = n*(n+1) - 45 chiffres.
On résout alors le polynôme suivant :
2 * n * ((n+1)/2) = n² + n - 45 = 2001
<=> n² + n - 2046 = 0
Etant donné que l'on cherche uniquement un nombre positif, on trouve = 44,73.
Pour écrire la suite jusqu'au nombre 44 inclus, il faut : 44*45 - 45 = 1935 chiffres
Pour écrire la suite jusqu'au nombre 45 inclus, il faut : 45*46 - 45 = 2025 chiffres
Le 2001 ème est donc dans la séquence correspondant au nombre 45.

2ème partie : Le 2001ème chiffre est-il un 4 ou un 5 ?
Le 45ème chiffre est un 9, le 46ème est un 1, le 47ème est un 0. Ainsi dans la séquence "45" (du 1936ème au 2025ème) les chiffres de rang pair sont des 4, ceux de rang impair des 5.

En conclusion, le 2001ème chiffre est un 5.